Question

10．設(shè)x＞0，y＞0，則（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$的最小值為8．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$=${x}^{2}+\frac{16}{{y}^{2}}$+$\frac{8x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥$\frac{8x}{y}$+8xy+$\frac{y}{x}$=$\frac{16x}{y}$+$\frac{x}{y}$≥8，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$=${x}^{2}+\frac{16}{{y}^{2}}$+$\frac{8x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥$\frac{8x}{y}$+8xy+$\frac{y}{x}$=$\frac{16x}{y}$+$\frac{x}{y}$≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{16}{{y}^{2}}}\\{\frac{16x}{y}=\frac{x}{y}}\end{array}\right.$，即x=1，y=4時(shí)，（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$的最小值為8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．