Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線AB，DE交橢圓分別于A，B，D，E，且滿足$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$，求△MNF面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組，求出a，b即可得到橢圓方程．
（2））根據(jù)$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$可知，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+1，不妨設(shè)m＞0，聯(lián)立橢圓C有（m²+2）y²+2my-1=0，根據(jù)韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積，通過(guò)換元法以及基本不等式求解三角形的最值．

解答 解：（1）根據(jù)條件有$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2{b^2}\\ \frac{1}{{2{a^2}}}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，所以橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）根據(jù)$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$可知，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，且直線AB，DE斜率均存在且不為0，
現(xiàn)設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+1，
不妨設(shè)m＞0，聯(lián)立橢圓C有（m²+2）y²+2my-1=0，
根據(jù)韋達(dá)定理得：${y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+2}}$，${x_1}+{x_2}=m（{y_1}+{y_2}）+2=\frac{4}{{{m^2}+2}}$，$M（\frac{2}{{{m^2}+2}}，\frac{-m}{{{m^2}+2}}）$，$|MF|=\frac{{m\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+2}}$，
同理可得$|NF|=\frac{{|-\frac{1}{m}|\sqrt{{{（-\frac{1}{m}）}^2}+1}}}{{{{（-\frac{1}{m}）}^2}+2}}$，
所以△MNF面積${S_{△MNF}}=\frac{1}{2}|MF||NF|=\frac{{m+\frac{1}{m}}}{{4{{（m+\frac{1}{m}）}^2}+2}}$，
現(xiàn)令$t=m+\frac{1}{m}≥2$，
那么${S_{△MNF}}=\frac{t}{{4{t^2}+2}}=\frac{1}{{4t+\frac{2}{t}}}≤\frac{1}{9}$，
所以當(dāng)t=2，m=1時(shí)，△MNF的面積取得最大值$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，三角形面積的最值的求法，基本不等式以及換元法的應(yīng)用．