Question

1．電視劇《人民的名義》中有一個低矮的接待上訪服務(wù)窗口，假設(shè)群眾辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是10分鐘的整數(shù)倍，對以往群眾辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：

辦理業(yè)務(wù)所需的時間（分）	10	20	30	40	50
頻率	0.3	0.3	0.2	0.1	0.1

假設(shè)排隊等待辦理業(yè)務(wù)的群眾不少于3人，從第一個群眾開始辦理業(yè)務(wù)時開始計時．
（Ⅰ）估計第三個群眾恰好等待40分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；
（Ⅱ）X表示至第20分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的群眾人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，求出Y的分布列，A表示事件“第三個顧客恰好等待40分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為10分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為30分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為30分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為10分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為20分鐘．由此能求出第三個群眾恰好等待40分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率．
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：

Y	10	20	30	40	50
P	0.3	0.3	0.2	0.1	0.1

（Ⅰ）A表示事件“第三個顧客恰好等待40分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：
①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為10分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為30分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為30分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為10分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為20分鐘．
…（3分）
所以P（A）=P（Y=10）P（Y=30）+P（Y=30）P（Y=10）+P（Y=20）P（Y=20）=0.3×0.2+0.2×0.3+0.3×0.3=0.21．…（5分）
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，1，2．…（6分）X=0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過20分鐘，
所以P（X=0）=P（Y＞0）=0.4；X=1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為10分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時   間超過10分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為20分鐘，
所以P（X=1）=P（Y=10）P（Y＞10）+P（Y=20）=0.3×0.7+0.3=0.51；X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為10分鐘，
所以P（X=2）=P（Y=10）P（Y=10）=0.3×0.3=0.09； …（9分）
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	0.4	0.51	0.09

E（X）=0×0.4+1×0.51+2×0.09=0.69…（12分）
（注：分布列未列表，扣1分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查了n次獨立試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式，是中檔題．