Question

13．已知（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）ⁿ⁺²的展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是11n
（1）求n的值；
（2）求（2x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）ⁿ⁺²的展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是11n得到關(guān)于n 的等式解出n；
（2）利用（1）的結(jié)論，求系數(shù)最大項(xiàng)．

解答 解：（1）因?yàn)椋?+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）ⁿ⁺²的展開(kāi)式中
含x²項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}+…+{C}_{n+2}^{2}$=11n，解得n=5；
（2）由（1）得（2x+$\frac{1}{x}$）¹⁰，所以展開(kāi)式通項(xiàng)為${C}_{10}^{r}（2x）^{10-r}（\frac{1}{x}）^{r}$=${2}^{10-r}{C}_{10}^{r}{x}^{10-2r}$，
設(shè)系數(shù)最大項(xiàng)為T_r+1，所以$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{10-r}{C}_{10}^{r}≥{2}^{9-r}{C}_{10}^{r+1}}\\{{2}^{10-r}{C}_{10}^{r}≥{2}^{11-r}{C}_{10}^{r-1}}\end{array}\right.$，r∈Z，解得r=3，
所以系數(shù)最大項(xiàng)為${T}_{3+1}={2}^{7}{C}_{10}^{3}{x}^{4}$=15360x⁴．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是明確展開(kāi)式的通項(xiàng)，從圖象入手，找出滿足特征項(xiàng)的r值．