Question

10．設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2sinCsinB=sinB-sin（A-C）．
（I）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）當B為鈍角時，求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由誘導公式和和差化積公式對已知等式進行變形處理得到：sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sin（$\frac{π}{2}$-A），易得該三角形的形狀；
（Ⅱ）B-A=$\frac{π}{2}$且B為鈍角，可得A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈（ $\frac{π}{2}$，π）．可得cosB∈（-1，0）．sinA+sinC=-2（cosB-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$=f（B），再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）2sinCsinB=sinB-sin（A-C）=sin（A+C）-sin（A-C）=2cosAsinC．
∵sinC≠0，
∴sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sin（$\frac{π}{2}$-A），
①A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC為直角三角形；
②B=$\frac{π}{2}$+A，則△ABC為鈍角三角形；
（Ⅱ）：∵B-A=$\frac{π}{2}$且B為鈍角，
∴A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=π-（B-$\frac{π}{2}$）-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴cosB∈（-1，0）．
sinA+sinC=sin（B-$\frac{π}{2}$）+sin（$\frac{3π}{2}$-2B）=-cosB-cos2B=-2cos²B-cosB+1
=-2（cosB-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$=f（B），
∴f（B）∈（0，1）．
∴sinA+sinC的取值范圍是（0，1）．

點評 本題考查了誘導公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．