Question

4．觀察下列等式：
-1=-1；
-1+3=2；
-1+3-5=-3；
-1+3-5+7=4；
…
（1）照此規(guī)律，歸納猜想出第n個等式
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用歸納推理以及所給式子的結(jié)構(gòu)特征，得出結(jié)論-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿ•n．
（2）先證明n=1時，等式成立，假設n=k時，等式成立，即-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^k•k，在此基礎(chǔ)上利用假設證明n=k+1時，等式也成立，從而得到等式對任意的n∈N^*均成立．

解答 解：（1）觀察等式：-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，…
可得-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿ•n．
（2）證明：①n=1時，左式=右式=-1，等式成立．
②假設n=k時，等式成立，即-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^k•k，
則當n=k+1時，
左式=-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^k•k+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^k+1（-k+2k+1）
=（-1）^k+1（k+1）=右式，
即n=k+1時，等式成立．
根據(jù)①，②，等式對任意的n∈N^*均成立．

點評 本題主要考查歸納推理，用數(shù)學歸納法證明不等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n=k到n=k+1項的變化，式子的變形是解題的關(guān)鍵．