Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx+2cos²ωx-1（其中0＜ω＜1），若點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心．
（1）試求ω的值；
（2）先列表，再作出函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈[-π，π]上的圖象．

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）由點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)ω的范圍，即可求出ω的值；
（2）由第一問確定的ω的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，列表，描點(diǎn)，連線，作出函數(shù)圖象，．

解答 解：由題設(shè)得：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx+2cos²ωx-1=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
（1）∵點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，
∴-$\frac{ωπ}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
∴ω=-3k+$\frac{1}{2}$，
∵0＜ω＜1，
∴k=0，ω=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[-π，π]，
列表如下：

x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{5π}{6}$	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{7π}{6}$
x	-π	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	-1	-2	0	2	0	-1

f（x）在x∈[-π，π]上的圖象如圖示：

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及五點(diǎn)法作三角函數(shù)圖象，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．