Question

13．已知函數(shù)f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（m＞0，m≠1）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=log_m$\frac{1}{x}$．
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）≥log_m（3x+1）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$，分析可得函數(shù)f（x）的解析式，求出其定義域，分析可得其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分析f（-x）與f（x）的關(guān)系即可得答案；
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合題意可得log_m$\frac{x+1}{1-x}$=log_m$\frac{1}{x}$，即$\frac{x+1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$，且$\frac{x+1}{1-x}$＞0，$\frac{1}{x}$＞0，解可得x的值；
（3）根據(jù)題意，有l(wèi)og_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1），分0＜m＜1與m＞1兩種情況討論求出log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1）解集，綜合即可得答案

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$=log_m$\frac{（{x}^{2}-1）+1}{1-（{x}^{2}-1）}$，
則函數(shù)f（x）=log_m$\frac{x+1}{1-x}$，
有$\frac{x+1}{1-x}$＞0，解可得-1＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=log_m$\frac{1-x}{1+x}$=-log_m$\frac{x+1}{1-x}$=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）由（1）可得：f（x）=log_m$\frac{x+1}{1-x}$，
若f（x）=log_m$\frac{1}{x}$，則有l(wèi)og_m$\frac{x+1}{1-x}$=log_m$\frac{1}{x}$，
即$\frac{x+1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$，且$\frac{x+1}{1-x}$＞0，$\frac{1}{x}$＞0，
解可得：x=$\sqrt{2}$-1，
（3）若f（x）≥log_m（3x+1），即log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1），
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1）⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{1-x}≤3x+1}\\{3x+1＞0}\\{\frac{x+1}{1-x}＞0}\end{array}\right.$，解可得0≤x≤$\frac{1}{3}$；
當(dāng)m＞1時(shí)，log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1）⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{1-x}≥3x+1}\\{3x+1＞0}\\{\frac{x+1}{1-x}＞0}\end{array}\right.$，解可得-$\frac{1}{3}$＜x≤0或$\frac{1}{3}$≤x＜1；
綜合可得：當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）≥log_m（3x+1）的解集為[0，$\frac{1}{3}$]；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）≥log_m（3x+1）的解集為（-$\frac{1}{3}$，0]∪[$\frac{1}{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)奇偶性的判斷以及對(duì)數(shù)不等式的解法，關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）的解析式．