Question

3．已知線段|AB|=4，且A，B兩點(diǎn)分別在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上運(yùn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)線段|AB|=4，建立方程，化簡(jiǎn)，即可求點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)M（x，y）是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，且y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₁，y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₂，∴$\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}-{x}_{2}）=2y$，
|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{2}）^{2}}$=4，
（2$\sqrt{3}$y）²+$\frac{1}{3}（2x）^{2}$=16，化簡(jiǎn)得$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$，
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程：$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．