Question

12．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂，其離心率e=$\frac{1}{2}$，且點(diǎn)F₂到直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓E上的一點(diǎn)（x₀≥1），過點(diǎn)P作圓（x+1）²+y²=1的兩條切線，切線與y軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），依題意有$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{ab=bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．可得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
 （2）如圖設(shè)圓的切線PM的方程為y=k（x-x₀）+y₀，由圓心（-1，0）到PM的距離為1，⇒|y₀-k（x₀+1）|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$⇒（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0，A（0，y₀-kx₀）．設(shè)圓的切線PN的方程為y=k₁（x-x₀）+y₀，同理可得B（0，y₀-k₁x₀），依題意k₁，k是方程（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0的兩個(gè)實(shí)根，|AB|²=[x₀（k-k₁）]²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}+8{x}_{0}）}{（{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}++8{x}_{0}}{（{x}_{0}+2）^{2}}$．由$3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=12$，得|AB|²=1+$\frac{4（{x}_{0}+2）}{（{x}_{0}+2）^{2}}$=1+$\frac{4}{{x}_{0}+2}$．

解答 解：（1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
依題意有$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{ab=bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
又∵a²=b²+c²，∴c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）如圖設(shè)圓的切線PM的方程為y=k（x-x₀）+y₀
由圓心（-1，0）到PM的距離為1，⇒
|y₀-k（x₀+1）|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$⇒（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0
令y=k（x-x₀）+y₀中x=0，y=y₀-kx₀
∴A（0，y₀-kx₀）．
設(shè)圓的切線PN的方程為y=k₁（x-x₀）+y₀．
同理可得B（0，y₀-k₁x₀）
依題意k₁，k是方程（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0的兩個(gè)實(shí)根，
k₁+k=$\frac{2{y}_{0}（{x}_{0}+1）}{{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}}$，k₁k=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}}$
|AB|²=[x₀（k-k₁）]²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}+8{x}_{0}）}{（{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}++8{x}_{0}}{（{x}_{0}+2）^{2}}$．
∵$3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=12$，∴|AB|²=1+$\frac{4（{x}_{0}+2）}{（{x}_{0}+2）^{2}}$=1+$\frac{4}{{x}_{0}+2}$
∵1≤x₀≤2，∴|AB|²=1+$\frac{4}{{x}_{0}+2}$$∈[2，\frac{7}{3}]$．
∴|AB|的取值范圍為[$\sqrt{2}，\frac{\sqrt{21}}{3}$]

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的方程，橢圓與直線的位置關(guān)系，圓的切線問題，屬于難題