Question

17．在△ABC中，已知AB=2，AC²-BC²=6，則tanC的最大值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得$\frac{5}{3}$（$\frac{a}$）²-2×$\frac{a}$×cosC+$\frac{1}{3}$=0，由于△≥0，可求cosC≥$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由于C為銳角，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可求當cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時，tanC取最大值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的最大值．

解答 解：∵AB=c=2，AC²-BC²=b²-a²=6，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC，
∴$\frac{2}{3}$（b²-a²）=a²+b²-2abcosC，
∴$\frac{5}{3}$（$\frac{a}$）²-2×$\frac{a}$×cosC+$\frac{1}{3}$=0，
∵△≥0，
∴可得：cosC≥$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵b＞c，可得C為銳角，
又∵tanC在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴當cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時，tanC取最大值，
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，正切函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應用，考查了方程思想，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題．