Question

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）探討函數(shù)F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$是否存在零點(diǎn)？若存在，求出函數(shù)F（x）的零點(diǎn)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，可得x=$\frac{1}{e}$．對t分類討論：當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{e}$時(shí)，及當(dāng)t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，分別研究其單調(diào)性、極值與最值，即可得出；
（2）由題意可得，2xlnx≥-x²+ax-3．即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$恒成立，令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值且為最小值，由此求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）把函數(shù)整理成F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥-$\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$），要判斷是否有零點(diǎn)，只需看F（x）的正負(fù)問題，令G（x）=$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)分析G（x）的單調(diào)區(qū)間和最值，即可判斷是否存在零點(diǎn)．

解答 解：（1）f（x）=xlnx，
f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$．
①當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{e}$時(shí)，在x∈[t，$\frac{1}{e}$）上f′（x）＜0；在x∈（$\frac{1}{e}$．t+2]上f′（x）＞0．
因此，f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，也是最小值．f_min（x）=-$\frac{1}{e}$．
②當(dāng)t≥$\frac{1}{e}$，f′（x）≥0，因此f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f_min（x）=f（t）=tlnt；
（2）由對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
即有2xlnx≥-x²+ax-3．
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$恒成立，
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，h′（x）=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，
∴a≤h（x）_min=h（1）=4．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]；
（3）令m（x）=2xlnx，
m'（x）=2（1+lnx），
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，m'（x）＜0，m（x）遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）遞增；
∴m（x）的最小值為m（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$，
則2xlnx≥-$\frac{2}{e}$，
∴l(xiāng)nx≥-$\frac{1}{ex}$，
F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=0①
則F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥-$\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$），
令G（x）=$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，則G'（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，G'（x）＜0，G（x）遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，G'（x）＞0，G（x）遞增；
∴G（x）≥G（1）=0 ②
∴F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥-$\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$）≥0，
∵①②中取等號(hào)的條件不同，
∴F（x）＞0，故函數(shù)F（x）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，注意運(yùn)用分類討論思想方法和參數(shù)分離，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查了恒成立問題的解法，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．