Question

15．已知a∈R，函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x，曲線y=f（x）與x軸相切．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m使得$\frac{f（x）}{x}＞m（1-{e^x}）$恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{f′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$即可求得a值，把a(bǔ)值代入函數(shù)解析式，得到當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況表，由圖表可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）$\frac{f（x）}{x}＞m（1-{e^x}）$等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜mx（1-{e}^{x}）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞mx（1-{e}^{x}）}\end{array}\right.$，令g（x）=f（x）-mx（1-e^x）=ln（x+1）-x-mx（1-e^x），x∈（-1，+∞），求其二階導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)m分類討論得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，0），則f′（x）=$\frac{1}{x+a}-1$，
依題意$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{f′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{ln（{x}_{0}+a）-{x}_{0}=0}\\{\frac{1}{{x}_{0}+a}-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{{x}_{0}=0}\end{array}\right.$．
∴f（x）=ln（x+1）-x，f′（x）=$\frac{-x}{x+1}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）存在m=$\frac{1}{2}$，理由如下：
$\frac{f（x）}{x}＞m（1-{e^x}）$等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜mx（1-{e}^{x}）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞mx（1-{e}^{x}）}\end{array}\right.$．
令g（x）=f（x）-mx（1-e^x）=ln（x+1）-x-mx（1-e^x），x∈（-1，+∞），
則g′（x）=$\frac{1}{x+1}-1-m+m（x+1）{e}^{x}$，g″（x）=$-\frac{1}{（x+1）^{2}}+m（x+2）{e}^{x}$，
①若m=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＜-1，m（x+2）e^x＜1，∴g″（x）＜0；
當(dāng)x＞0時(shí)，-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞-1，m（x+2）e^x＞1，∴g″（x）＞0，
∴g′（x）在單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞增為（0，+∞），
又g′（0）=0，∴g′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g′（x）=0，
從而g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，又g（0）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$，即$\frac{f（x）}{x}$＞m（1-e^x）成立．
②若m$＞\frac{1}{2}$，∵g″（0）=2m-1＞0，
g″（$\frac{1}{2m}-1$）=$-4{m}^{2}+m（\frac{1}{2m}+1）{e}^{\frac{1}{2m}-1}$＜-4m²+m（$\frac{1}{2m}+1$）＜0，
∴存在x₁∈（$\frac{1}{2m}-1$，0），使得g″（x₁）=0，
∵g″（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（x₁，0）時(shí)，g″（x）＞0，g′（x）在（x₁，0）上遞增，
又g′（0）=0，∴當(dāng)x∈（x₁，0）時(shí)，g′（x）＜0，
從而g（x）在（x₁，0）上遞減，又g（0）=0，
∴當(dāng)x∈（x₁，0）時(shí)，g（x）＞0，
此時(shí)$\frac{f（x）}{x}$＞m（1-e^x）不恒成立；
③若m＜$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{f（x）}{x}$＞m（1-e^x）不恒成立．
綜上所述，存在實(shí)數(shù)m=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是壓軸題．