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12.如圖,AC=2ED,AC∥平面EDB,AC⊥平面BCD,平面ACDE⊥平面ABC.
(Ⅰ)求證:AC∥ED;
(Ⅱ)求證:DC⊥BC;
(Ⅲ)當(dāng)BC=CD=DE=1時(shí),求二面角A-BE-D的余弦值;
(Ⅳ)在棱AB上是否存在點(diǎn)P滿足EP∥平面BDC;
(Ⅴ)設(shè)CDCE=k,是否存在k滿足平面ABE⊥平面CBE?若存在求出k值,若不存在說明理由.

分析 (Ⅰ)由AC∥平面EDB,平面ACDE∩平面EDB=ED,能證明AC∥ED.
(Ⅱ)法1:推導(dǎo)出AC⊥CD,從而CD⊥平面ABC,由此能證明CD⊥CB.
證法2:推導(dǎo)出AC⊥CD,AC⊥CB,從而∠DCB為二面角D-AC-B的平面角,由此能證明CD⊥CB.
(Ⅲ)以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BE-D的余弦值.
(Ⅳ)法1:取AC中點(diǎn)F,連接EF,過點(diǎn)F作FP∥BC交AB于點(diǎn)P,得到P為AB中點(diǎn).推導(dǎo)出EF∥CD,由此能證明EP∥平面BCD.
法2:設(shè)AP=λAB,則EP=EA+AP=12λλ1,求出平面BCD的一個(gè)法向量為p=(1,0,0),從而得到當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),AP∥平面BCD.
(Ⅴ)設(shè)AC=2a,求出平面CBE的法向量和平面ABE的法向量,利用向量法能求出當(dāng)k=1時(shí),平面ABE⊥平面CBE.

解答 證明:(Ⅰ)因?yàn)锳C∥平面EDB,平面ACDE∩平面EDB=ED,
且AC?平面EDB,
所以AC∥ED.
(Ⅱ)證法1:因?yàn)锳C⊥平面BCD,所以AC⊥CD,
因?yàn)槠矫鍭CDE⊥平面ABC,且平面ACDE∩平面ABC=AC,CD?平面ACDE,
所以CD⊥平面ABC,
所以CD⊥CB.
證法2:因?yàn)锳C⊥平面BCD,所以AC⊥CD,AC⊥CB,
因?yàn)槠矫鍭CDE∩平面ABC=AC,
所以∠DCB為二面角D-AC-B的平面角,
又因?yàn)槠矫鍭CDE⊥平面ABC,
所以∠DCB=90°,即CD⊥CB.
解:(Ⅲ)由(Ⅱ)證明可知AC⊥CD,AC⊥CB,CD⊥CB,
所以如圖,以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)锽C=CD=DE=1,所以A(2,0,0),B(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),
所以DE=100BD=011AE=101AB=210,
設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),則{DEm=x=0BDm=y+z=0,取y=1,得m=(0,1,1).
設(shè)平面ABE的法向量為n=(a,b,c),則{AEm=a+c=0ABm=2a+b=0
所以cos<mn>=mn|m||n|=34,
所以,依據(jù)題意可得二面角A-BE-D的余弦值為34
(Ⅳ)解法1:取AC中點(diǎn)F,連接EF,過點(diǎn)F作FP∥BC交AB于點(diǎn)P,
所以P為AB中點(diǎn).
因?yàn)锳C=2ED,AC∥ED,所以ED__FC,所以EF∥CD.
所以平面EFP∥平面BCD,
所以EP∥平面BCD.
解法2:設(shè)AP=λAB,則EP=EA+AP=12λλ1
由(Ⅱ)證明可知平面BCD的一個(gè)法向量為p=(1,0,0),
EPn=1-2λ=0=0,得λ=12
所以當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),AP與平面BCD成角為0°,
所以當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),AP∥平面BCD.
(Ⅴ)設(shè)AC=2a,則A(2a,0,0),E(a,0,ka),B(0,b,0),
AE=a0kaAB=2ab0,
設(shè)平面CBE的法向量為q=(x1,y1,z1),CE=(a,0,ka),CB=(0,b,0),
{CEq=ax1+kaz1=0CBq=by1=0,取x1=k,得q=(k,0,-1),
設(shè)平面ABE的法向量t=(x2,y2,z2),
{AEt=ax2+kaz2=0ABt=2ax2+by2=0,取z2=1,得t=(k,2ak,1),
因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面CBE,所以qt=k2-1=0,由k>0,得k=1.
所以當(dāng)k=1時(shí),平面ABE⊥平面CBE.

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

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網(wǎng)購金額
(單位千元)
頻數(shù)頻率
(0,0.5]30.05
(0.5,1]xp
(1,1.5]90.15
(1.5,2]150.25
(2,2.5]180.30
(2.5,3]yq
合計(jì)601.00
若網(wǎng)購金額超過2千元的顧客定義為“網(wǎng)購達(dá)人”,網(wǎng)購金額不超過2千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達(dá)人”,已知“非網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購達(dá)人”人數(shù)比恰好為3:2.
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(2)試營銷部門為了進(jìn)一步了解這60名網(wǎng)友的購物體驗(yàn),從“非網(wǎng)購達(dá)人”、“網(wǎng)購達(dá)人”中用分層抽樣的方法確定5人,若需從這5人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行問卷調(diào)查,則恰好選取1名“網(wǎng)購達(dá)人”和1名“非網(wǎng)購達(dá)人”的概率是多少?

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