分析 (Ⅰ)由AC∥平面EDB,平面ACDE∩平面EDB=ED,能證明AC∥ED.
(Ⅱ)法1:推導(dǎo)出AC⊥CD,從而CD⊥平面ABC,由此能證明CD⊥CB.
證法2:推導(dǎo)出AC⊥CD,AC⊥CB,從而∠DCB為二面角D-AC-B的平面角,由此能證明CD⊥CB.
(Ⅲ)以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CD為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-BE-D的余弦值.
(Ⅳ)法1:取AC中點F,連接EF,過點F作FP∥BC交AB于點P,得到P為AB中點.推導(dǎo)出EF∥CD,由此能證明EP∥平面BCD.
法2:設(shè)\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB},則\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AP}=(1-2λ,λ,-1),求出平面BCD的一個法向量為\overrightarrow{p}=(1,0,0),從而得到當(dāng)P為AB中點時,AP∥平面BCD.
(Ⅴ)設(shè)AC=2a,求出平面CBE的法向量和平面ABE的法向量,利用向量法能求出當(dāng)k=1時,平面ABE⊥平面CBE.
解答 證明:(Ⅰ)因為AC∥平面EDB,平面ACDE∩平面EDB=ED,
且AC?平面EDB,
所以AC∥ED.
(Ⅱ)證法1:因為AC⊥平面BCD,所以AC⊥CD,
因為平面ACDE⊥平面ABC,且平面ACDE∩平面ABC=AC,CD?平面ACDE,
所以CD⊥平面ABC,
所以CD⊥CB.
證法2:因為AC⊥平面BCD,所以AC⊥CD,AC⊥CB,
因為平面ACDE∩平面ABC=AC,
所以∠DCB為二面角D-AC-B的平面角,
又因為平面ACDE⊥平面ABC,
所以∠DCB=90°,即CD⊥CB.
解:(Ⅲ)由(Ⅱ)證明可知AC⊥CD,AC⊥CB,CD⊥CB,
所以如圖,以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CD為z軸,建立空間直角坐標系,
因為BC=CD=DE=1,所以A(2,0,0),B(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),
所以\overrightarrow{DE}=(1,0,0),\overrightarrow{BD}=(0,-1,1),\overrightarrow{AE}=(-1,0,1),\overrightarrow{AB}=(-2,1,0),
設(shè)平面BDE的法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}=x=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-y+z=0}\end{array}\right.,取y=1,得\overrightarrow{m}=(0,1,1).
設(shè)平面ABE的法向量為\overrightarrow{n}=(a,b,c),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=-a+c=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=-2a+b=0}\end{array}\right..
所以cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{4},
所以,依據(jù)題意可得二面角A-BE-D的余弦值為-\frac{{\sqrt{3}}}{4}.
(Ⅳ)解法1:取AC中點F,連接EF,過點F作FP∥BC交AB于點P,
所以P為AB中點.
因為AC=2ED,AC∥ED,所以ED\underline{\underline{∥}}FC,所以EF∥CD.
所以平面EFP∥平面BCD,
所以EP∥平面BCD.
解法2:設(shè)\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB},則\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AP}=(1-2λ,λ,-1),
由(Ⅱ)證明可知平面BCD的一個法向量為\overrightarrow{p}=(1,0,0),
由\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{n}=1-2λ=0=0,得λ=\frac{1}{2},
所以當(dāng)P為AB中點時,AP與平面BCD成角為0°,
所以當(dāng)P為AB中點時,AP∥平面BCD.
(Ⅴ)設(shè)AC=2a,則A(2a,0,0),E(a,0,ka),B(0,b,0),
則\overrightarrow{AE}=(-a,0,ka),\overrightarrow{AB}=(-2a,b,0),
設(shè)平面CBE的法向量為\overrightarrow{q}=(x1,y1,z1),\overrightarrow{CE}=(a,0,ka),\overrightarrow{CB}=(0,b,0),
由\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{q}=a{x}_{1}+ka{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{q}=b{y}_{1}=0}\end{array}\right.,取x1=k,得\overrightarrow{q}=(k,0,-1),
設(shè)平面ABE的法向量\overrightarrow{t}=(x2,y2,z2),
由\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{t}=-a{x}_{2}+ka{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{t}=-2a{x}_{2}+b{y}_{2}=0}\end{array}\right.,取z2=1,得\overrightarrow{t}=(k,\frac{2ak},1),
因為平面ABE⊥平面CBE,所以\overrightarrow{q}•\overrightarrow{t}=k2-1=0,由k>0,得k=1.
所以當(dāng)k=1時,平面ABE⊥平面CBE.
點評 本題考查考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | 18 | C. | 24 | D. | 36 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{10} | B. | \frac{2}{5} | C. | \frac{1}{5} | D. | \frac{1}{30} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
網(wǎng)購金額 (單位千元) | 頻數(shù) | 頻率 |
(0,0.5] | 3 | 0.05 |
(0.5,1] | x | p |
(1,1.5] | 9 | 0.15 |
(1.5,2] | 15 | 0.25 |
(2,2.5] | 18 | 0.30 |
(2.5,3] | y | q |
合計 | 60 | 1.00 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | \frac{1}{2} | C. | 1 | D. | 2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -24 | B. | -3 | C. | 3 | D. | 8 |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com