Question

5．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}$，（φ為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓C的普通方程和極坐標方程；
（2）直線l的極坐標方程是$2ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=6\sqrt{3}$，射線OM：θ=$\frac{π}{6}$與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sin²φ+cos²φ=1消去直線l的參數(shù)可得普通方程；又x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得極坐標方程；
（2）由題意得$θ=\frac{π}{6}$，由極坐標方程ρ=2cosθ得${ρ_1}=\sqrt{3}$，由直線的極坐標方程$2ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=6\sqrt{3}$得${ρ_2}=3\sqrt{3}$
利用極坐標方程幾何意義可得線段PQ的長．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}$，（φ為參數(shù)），
則cosφ=x-1，sinφ=y，
∵sin²φ+cos²φ=1，可得（x-1）²+y²=1，
即圓C的普通方程為（x-1）²+y²=1，
又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ；
（2）由題意得$θ=\frac{π}{6}$，由極坐標方程ρ=2cosθ，得${ρ_1}=\sqrt{3}$，
由直線的極坐標方程$2ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=6\sqrt{3}$，得${ρ_2}=3\sqrt{3}$
極坐標方程幾何意義可得線段PQ的長：$PQ=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決問題．利用直角坐標與極坐標間的關系．