Question

8．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=2CD=2，$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{2}$，動點E和F分別在線段CD和BC上，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$的最大值為$\frac{7}{2}$，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$的取值范圍為[$\frac{7}{4}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 根據數量積的幾何意義，可知，當點E在D處時，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$最大，過D、C分別作AB的垂線，垂足為M、N．則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$的最大值為BA•BM=$\frac{7}{2}$，得BM，AM，BN．根據數量積的幾何意義，可知，當點F在C處時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最小，此時$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}=\frac{7}{4}$，當點F在B處時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最大，此時$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=AB•AN=\frac{5}{2}$．

解答 解：由$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{2}$，得∠DAC=60°．
根據數量積的幾何意義，可知，當點E在D處時，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$最大，
過D、C分別作AB的垂線，垂足為M、N
則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$的最大值為BA•BM=$\frac{7}{2}$，∴BM=$\frac{7}{4}$，
⇒AM=$\frac{1}{4}$，BN=$\frac{3}{4}$
以A為原點，ADF方向為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
則A（0，0），B（2，0），C（$\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$），D（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$）
根據數量積的幾何意義，可知，當點F在C處時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最小，此時$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}=\frac{7}{4}$．
當點F在B處時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最大，此時$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=AB•AN=\frac{5}{2}$．
∴則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$的取值范圍為[$\frac{7}{4}，\frac{5}{2}$]
故答案為：[$\frac{7}{4}，\frac{5}{2}$]

點評 本題主要考查兩個向量數量積運算，特別是幾何意義，屬于中檔題．