Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=2-（$\frac{1}{2}}$）^n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{n+1}{n}$a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系：n=1時(shí)，S₁=a₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．則b_n=2ⁿa_n，即有b_n=b_n-1+1，運(yùn)用等差數(shù)列的定義，即可得證；
（II）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，c_n=$\frac{n+1}{n}$a_n=（n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（I）證明：在S_n=-a_n+2-（$\frac{1}{2}}$）^n-1中，令n=1，得S₁=-a₁-1+2=a₁，得a₁=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=-a_n-1+2-（$\frac{1}{2}}$）^n-2，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）^n-1，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．
則b_n=2ⁿa_n，即有b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=1．
又b₁=2a₁=1，故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．
（II）由（I）b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，
可得a_n=n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，c_n=$\frac{n+1}{n}$a_n=（n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
所以T_n=2•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+4•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+4•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=1+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
則T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查構(gòu)造數(shù)列的思想方法，數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．