Question

【題目】己知函數(shù).(是常數(shù)，且（)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)在處取得極值時，若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求證:當(dāng)時.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）減區(qū)間為，增區(qū)間為.；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，再分別解與，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)在處取得極值，可得，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，可得，解不等式即可得出實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）和（Ⅱ）可知當(dāng)時，即，令，對進(jìn)行放縮，即可證明.

詳解：（Ⅰ）由已知比函數(shù)的定義域為,

由得，由,得.

所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為..

（Ⅱ）由題意，得.

∴

∴

∴,即.

∴,

設(shè)，則.

當(dāng)變化時，的變化情況如下表:

			1		2
	0	-	0	+

∵方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根

∴

∴

∴即.

（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知當(dāng)時，即，

∴當(dāng)時，，

令時，，即.

∴.