Question

8．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點F，O為坐標原點，直線AB（不垂直x軸）過點F且與拋物線C交于A，B兩點，直線OA與OB的斜率之積為-p．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若M為線段AB的中點，射線OM交拋物線C于點D，求證：$\frac{{|{OD}|}}{{|{OM}|}}＞2$．

Answer 1

分析 （I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB（不垂直x軸）的方程可設為$y=k（x-\frac{p}{2}）\;（k≠0）$．與拋物線方程聯(lián)立可得：${k^2}{x^2}-（{k^2}p+2p）x+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$，由直線OA與OB的斜率之積為-p，即$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-p$．可得：x₁x₂=4． 利用根與系數(shù)的關系即可得出．
（II）利用中點坐標公式、斜率計算公式可得：直線OD的方程為$y={k_{op}}x=\frac{2k}{{{k^2}+2}}x$，代入拋物線C：y²=8x的方程，解出即可得出．

解答 （I）解：∵直線AB過點F且與拋物線C交于A，B兩點，$F（\frac{P}{2}，0）$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB（不垂直x軸）的方程可設為$y=k（x-\frac{p}{2}）\;（k≠0）$．
∴${y_1}^2=2p{x_1}\;（p＞0）$，${y_2}^2=2p{x_2}$．
∵直線OA與OB的斜率之積為-p，
∴$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-p$．
∴${（\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}）^2}={p^2}$，得 x₁x₂=4．  
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-\frac{p}{2}）\\{y^2}=2px\end{array}\right.$，化為${k^2}{x^2}-（{k^2}p+2p）x+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$，
其中△=（k²p+2p）²-k²p²k²＞0
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴p=4，拋物線C：y²=8x．  
（Ⅱ）證明：設M（x₀，y₀），P（x₃，y₃），∵M為線段AB的中點，
∴${x_0}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=\frac{{{k^2}P+2P}}{{2{k^2}}}=\frac{{2（{k^2}+2）}}{k^2}$，${y_0}=k（{x_0}-2）=\frac{4}{k}$．
∴直線OD的斜率為${k_{op}}=\frac{y_0}{x_0}=\frac{2k}{{{k^2}+2}}$．
直線OD的方程為$y={k_{op}}x=\frac{2k}{{{k^2}+2}}x$代入拋物線C：y²=8x的方程，
得${x_3}=\frac{{2{{（{k^2}+2）}^2}}}{k^2}$．
∴$\frac{x_3}{x_0}=（{k^2}+2）$．
∵k²＞0，
∴$\frac{{|{OD}|}}{{|{OM}|}}=\frac{x_3}{x_0}=（{k^2}+2）＞2$．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、中點坐標公式、斜率計算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．