Question

12．已知直線2x+y-k=0（k＞0）與圓x²+y²=4交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|，那么k的取值范圍是（　�。�

• A． [$\sqrt{5}$，+∞）
• B． [$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）
• C． [$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 利用平行四邊形法則，借助于直線與圓的位置關系，利用直角三角形，即可求得結論．

解答 解：設AB中點為D，則OD⊥AB，
∵|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|，∴|2$\overrightarrow{OD}$|$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|⇒|$\overrightarrow{AB}$|$≤2\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OD}$|
又∵OD²+$\frac{1}{4}A{B}^{2}=4$，∴OD²≥1．
∵直線2x+y-k=0（k＞0）與圓x²+y²=4交于不同的兩點A、B，
∴OD²＜4
∴$1≤（\frac{k}{\sqrt{5}}）^{2}＜4$，解得$\sqrt{5}≤k＜2\sqrt{5}$
故選：B

點評 本題考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．