Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，為曲線上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).問是否為定值？若是，求的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，.

【解析】

（1）設(shè)出M的坐標(biāo)為，采用直接法求曲線的方程；

（2）設(shè)AB的方程為，，,，求出AT方程，聯(lián)立直線方程得D點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得E點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積算即可.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由知∥，又在直線上，

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，，

由得，即；

（2）

設(shè)直線AB的方程為，代入得，設(shè)，，

則，，設(shè)，則，

所以AT的直線方程為即，令，則

，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理E點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是，

，所以

，從而，

所以是定值.