Question

2．在△ABC所在平面上有一點P，滿足$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{AB}$，則△APC與△ABC的面積比為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 將條件等價轉化，化為即$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，利用向量加減法的三角形法則可得到3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CB}$，得出結論．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{PC}$+（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{AB}$）+（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{0}$，
即3$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
即3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{BC}$ 并且方向一樣，|BC|=3|AP|，
如果AP和AC夾角為θ，那么BC和AC的夾角也是θ，
S_△APC=$\frac{1}{2}$|AP|•|AC|sinθ，
S△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•|AC|sinθ，
所以S_△PAC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
故選：B．

點評 本題考查向量在幾何中的應用、向量的加減法及其幾何意義，體現了等價轉化的數學思想．