Question

11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，對任意0＜x₁＜x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$，且f（2）=1，則不等式-3≤f（x）+x≤0的解集為[-2，0]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)g（x）=f（x）+x，由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)分析可得函數(shù)g（x）為R上的奇函數(shù)，又由有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$分析可得$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，即可得函數(shù)g（x）=f（x）+x在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)；進(jìn)而分析可得g（-2）=-3，g（0）=0，則等式-3≤f（x）+x≤0可以轉(zhuǎn)化為g（-2）≤g（x）≤g（0），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)g（x）=f（x）+x，
又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），
則有g(shù)（-x）=f（-x）+（-x）=-f（x）-x=-[f（x）+x]=-g（x），即函數(shù)g（x）為R上的奇函數(shù)，
則有g(shù)（0）=0；
又由對任意0＜x₁＜x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$，
即$\frac{[f（{x}_{1}）+{x}_{1}]-[f（{x}_{2}）+{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
則函數(shù)g（x）=f（x）+x在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，
又由函數(shù)g（x）為R上的奇函數(shù)，則g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)，
又由f（2）=1，則f（-2）=-1，g（-2）=f（-2）+（-2）=-3；
不等式-3≤f（x）+x≤0?g（-2）≤g（x）≤g（0），
則有-2≤x≤0，
即不等式-3≤f（x）+x≤0的解集為[-2，0]；
故答案為：[-2，0]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x），利用特殊值轉(zhuǎn)化分析不等式．