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11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且圖象連續(xù)不斷,對任意0<x1<x2,有fx1fx2x1x21,且f(2)=1,則不等式-3≤f(x)+x≤0的解集為[-2,0].

分析 根據(jù)題意,設(shè)g(x)=f(x)+x,由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)分析可得函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù),又由有fx1fx2x1x21分析可得gx1gx2x1x2>0,即可得函數(shù)g(x)=f(x)+x在區(qū)間(0,+∞)為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得g(x)在(-∞,0)為增函數(shù);進(jìn)而分析可得g(-2)=-3,g(0)=0,則等式-3≤f(x)+x≤0可以轉(zhuǎn)化為g(-2)≤g(x)≤g(0),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.

解答 解:根據(jù)題意,設(shè)g(x)=f(x)+x,
又由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則有f(-x)=-f(x),
則有g(shù)(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),即函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù),
則有g(shù)(0)=0;
又由對任意0<x1<x2,有fx1fx2x1x21,
[fx1+x1][fx2+x2]x1x2=gx1gx2x1x2>0,
則函數(shù)g(x)=f(x)+x在區(qū)間(0,+∞)為增函數(shù),
又由函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù),則g(x)在(-∞,0)為增函數(shù),
又由f(2)=1,則f(-2)=-1,g(-2)=f(-2)+(-2)=-3;
不等式-3≤f(x)+x≤0?g(-2)≤g(x)≤g(0),
則有-2≤x≤0,
即不等式-3≤f(x)+x≤0的解集為[-2,0];
故答案為:[-2,0].

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x),利用特殊值轉(zhuǎn)化分析不等式.

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