分析 根據(jù)題意,設(shè)g(x)=f(x)+x,由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)分析可得函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù),又由有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}>-1$分析可得$\frac{g({x}_{1})-g({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$>0,即可得函數(shù)g(x)=f(x)+x在區(qū)間(0,+∞)為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得g(x)在(-∞,0)為增函數(shù);進(jìn)而分析可得g(-2)=-3,g(0)=0,則等式-3≤f(x)+x≤0可以轉(zhuǎn)化為g(-2)≤g(x)≤g(0),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.
解答 解:根據(jù)題意,設(shè)g(x)=f(x)+x,
又由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則有f(-x)=-f(x),
則有g(shù)(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),即函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù),
則有g(shù)(0)=0;
又由對任意0<x1<x2,有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}>-1$,
即$\frac{[f({x}_{1})+{x}_{1}]-[f({x}_{2})+{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{g({x}_{1})-g({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$>0,
則函數(shù)g(x)=f(x)+x在區(qū)間(0,+∞)為增函數(shù),
又由函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù),則g(x)在(-∞,0)為增函數(shù),
又由f(2)=1,則f(-2)=-1,g(-2)=f(-2)+(-2)=-3;
不等式-3≤f(x)+x≤0?g(-2)≤g(x)≤g(0),
則有-2≤x≤0,
即不等式-3≤f(x)+x≤0的解集為[-2,0];
故答案為:[-2,0].
點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x),利用特殊值轉(zhuǎn)化分析不等式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | 4 | C. | $\frac{1}{9}$log32 | D. | -4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ?x∈R,x2+1≥0 | B. | ?x0∈R,x${\;}_{0}^{2}$+1>0 | ||
C. | ?x∈R,x2+1>0 | D. | ?x0∈R,x${\;}_{0}^{2}$+1≥0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | c>b>a | B. | b>a>c | C. | a>b>c | D. | c>a>b |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆山西臨汾一中高三10月月考數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點分別為
,橢圓
過點
,直線
交
軸于
,且
,
為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓
的上頂點,過點
分別作直線
交橢圓
于
兩點,設(shè)這兩條直線的斜率分別為
,且
,證明:直線
過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆山西臨汾一中高三10月月考數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知角的終邊過點
,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆陜西漢中城固縣高三10月調(diào)研數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)是
上的偶函數(shù),且在
上是增函數(shù),若
,則
的解集是 .
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