Question

6．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：$\overrightarrow{a}$²=（5$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$，則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞的最小值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{5}$（$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow$²），由向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，運(yùn)用基本不等式和向量的夾角公式，即可得到所求最小值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：$\overrightarrow{a}$²=（5$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{5}$（$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow$²）=$\frac{1}{5}$（|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow$|²）≥$\frac{1}{5}$•2$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}•4|\overrightarrow{|}^{2}}$=$\frac{4}{5}$|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$≥$\frac{4}{5}$•$\frac{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$|，取得最小值$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和夾角公式，以及性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．