Question

【題目】對給定自然數(shù)n≥2，求滿足下列條件的最大的N：無論怎樣將填人一個n×n的方格表，總存在同一行或同一列的兩個數(shù)，它們的差不小于N。

Answer 1

【答案】

【解析】

首先構造具體的例子證明：

.

1 當n為偶數(shù)時，設n=2k.如圖，將方格表等分為A、B、C、D四個k×k的區(qū)域，按如下方式填數(shù)

區(qū)域A中的填法為

1 2 ... k

k+1 k+2 ... 2k

... ... ... ...

k(k-1)+1 k(k-1)+2 ...

區(qū)域B中的填法為將區(qū)域A中的每個數(shù)均加上，類似地填區(qū)域C和D，所加數(shù)分別為2、3.

2 當n為奇數(shù)時，設n=2k+1.如圖，方格表的中間一行和中間一列將其余部分劃成了A、B、C、D四個k×k的區(qū)域，按如下方式填數(shù).

區(qū)域A的填法與n為偶數(shù)時相同，區(qū)域B、C、D的填法分別為將區(qū)域A中的數(shù)加上

；

中間一行的數(shù)從左至右依次為，

；

中間一列的數(shù)從上至下依次為

.

容易驗證，對以上的填法，方格表中同一行或同一列的任兩個數(shù)之差均不大于:.

其次，對任意一種填法，設占據(jù)了x行y列，即這個數(shù)均在這x行y列的交叉處.于是，([x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)).

則

.①

設占據(jù)了z行w列.類似有

. ②

由式①、②知.

因此，存在中的一個數(shù)(設為u)與

.中的一個數(shù)(設為u)在同一行或同一列,且有

(注意到，中必有一個為整數(shù)).

可見，N滿足要求.

綜上，N的最大值為.