Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{2}+b{e^x}$有兩個極值點x₁，x₂，其中b為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為關于x的方程$-b=\frac{x}{e^x}$有兩個不同的解，令$g（x）=\frac{x}{e^x}$，則$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可；
（2）問題轉化為g（x₂）-g（2-x₂）＞0，即${e^2}{x_2}-{e^{2{x_2}}}（{2-{x_2}}）＞0$，令h（t）=e²t-e^2t（2-t），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到h（t）＞0，從而證出結論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，f'（x）=x+be^x．
因為函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，所以f'（x）=x+be^x有兩個變號零點，
故關于x的方程$-b=\frac{x}{e^x}$有兩個不同的解，
令$g（x）=\frac{x}{e^x}$，則$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
當x∈（-∞，1）時g'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，
所以函數(shù)$g（x）=\frac{x}{e^x}$在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
又當x→-∞時，g（x）→-∞；當x→+∞時，g（x）→0，且$g（1）=\frac{1}{e}$，
故$0＜-b＜\frac{1}{e}$，所以$-\frac{1}{e}＜b＜0$．
（2）不妨設x₁＜x₂，由（1）可知，x₁＜1＜x₂，所以x₁，2-x₂∈（-∞，1），
因為函數(shù)$g（x）=\frac{x}{e^x}$在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，
若x₁+x₂＞2即x₁＞2-x₂時，g（x₁）＞g（2-x₂）即g（x₁）-g（2-x₂）＞0．
又g（x₁）=g（x₂），所以g（x₁）-g（2-x₂）＞0可化為g（x₂）-g（2-x₂）＞0，
即$\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}＞0$即${e^2}{x_2}-{e^{2{x_2}}}（{2-{x_2}}）＞0$，
令h（t）=e²t-e^2t（2-t），則h（1）=0，h'（t）=e²-e^2t（3-2t），
令φ（t）=h'（t），則φ（1）=0，φ'（t）=4e^2t（t-1），
當t＞1時，φ'（t）＞0，所以h'（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，則h'（t）＞h'（1）=0，
所以h（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（t）＞h（1）=0．證畢．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，考查不等式的證明，是一道中檔題．