Question

8．在△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，O為平面內(nèi)一點．且|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}$|，M為劣弧$\widehat{BC}$上一動點，且$\overrightarrow{OM}=p\overrightarrow{OB}+q\overrightarrow{OC}$．則p+q的取值范圍為[1，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，設外接圓的半徑為r，對$\overrightarrow{OM}$=p$\overrightarrow{OB}$+q$\overrightarrow{OC}$兩邊平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范圍．

解答 解：如圖所示，△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{2π}{3}$；
設|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}$=r，則O為△ABC外接圓圓心；


∵$\overrightarrow{OM}$=p$\overrightarrow{OB}$+q$\overrightarrow{OC}$，
∴${|\overrightarrow{OM}|}^{2}$=${（p\overrightarrow{OB}+q\overrightarrow{OC}）}^{2}$=r²，
即p²r²+q²r²+2pqr²cos$\frac{2π}{3}$=r²，
∴p²+q²-pq=1，
∴（p+q）²=3pq+1；
又M為劣弧AC上一動點，
∴0≤p≤1，0≤q≤1，
∴p+q≥2$\sqrt{pq}$，
∴pq≤${（\frac{p+q}{2}）}^{2}$=$\frac{{（p+q）}^{2}}{4}$，
∴1≤（p+q）²≤$\frac{3}{4}$（p+q）²+1，
解得1≤（p+q）²≤4，
∴1≤p+q≤2；
即p+q的取值范圍是[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點評 本題考查了平面向量的應用問題和圓周角與圓心角的關系以及基本不等式的應用問題，是綜合題．