7.某商場周年慶,準(zhǔn)備提供一筆資金,對消費(fèi)滿一定金額的顧客以參與活動的方式進(jìn)行獎勵,顧客從一個裝有大小相同的2個紅球和4個黃球的袋中按指定規(guī)則取出2個球,根據(jù)取到的紅球數(shù)確定獎勵金額,具體金額設(shè)置如下表:
取到的紅球數(shù) 
 獎勵(單位:元) 5 1050 
現(xiàn)有兩種取球規(guī)則的方案:
方案一:一次性隨機(jī)取出2個球;
方案二:依次有放回取出2個球.
(1)比較兩種方案下,一次抽獎獲得50元獎金概率的大;
(2)為使得盡可能多的人參與活動,作為公司負(fù)責(zé)人,你會選擇哪種方案?請說明理由.

分析 (1)記在方案一下一次抽獎獲得的獎金為隨機(jī)變量ξ,在方案二下一次抽獎獲得的獎金為隨機(jī)變量η,方案二中,從6個球中任取一球,恰是紅球的概率p=$\frac{1}{3}$,利用古典概型求出P(ξ=50),利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式求出P(η=50),由P(ξ=50)<P(η=50),得到第二種方案一次抽獎獲得50元獎金概率更大.
(2)求出選擇方案一時的數(shù)學(xué)期望E(ξ)和選擇方案二時的數(shù)學(xué)期望E(η),由E(ξ)<E(η),作為公司負(fù)責(zé)人應(yīng)選擇方案一才能使盡可能多的人參與活動.

解答 解:(1)記在方案一下一次抽獎獲得的獎金為隨機(jī)變量ξ,
在方案二下一次抽獎獲得的獎金為隨機(jī)變量η,
方案二中,從6個球中任取一球,恰是紅球的概率p=$\frac{1}{3}$,
則P(ξ=50)=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$,
P(η=50)=($\frac{1}{3}$)2=$\frac{1}{9}$,
∵P(ξ=50)<P(η=50),
∴第二種方案一次抽獎獲得50元獎金概率更大.
(2)方案一:
P(ξ=5)=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$,
P(ξ=10)=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$,
P(ξ=50)=$\frac{1}{15}$,
E(ξ)=$\frac{2}{5}×5+\frac{8}{15}×10+\frac{1}{15}×50$=$\frac{32}{3}$,
方案二:
P(η=5)=(1-$\frac{1}{3}$)2=$\frac{4}{9}$,
P(η=10)=${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$,
P(η=50)=($\frac{1}{3}$)2=$\frac{1}{9}$,
E(η)=$\frac{4}{9}×5+\frac{4}{9}×10+\frac{1}{9}×50=\frac{110}{9}$,
E(ξ)<E(η),作為公司負(fù)責(zé)人應(yīng)選擇方案一才能使盡可能多的人參與活動.

點(diǎn)評 本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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