Question

12．已知雙曲線過點(diǎn)$（3，\sqrt{15}）$，漸進(jìn)線方程為$y=±\sqrt{3}x$，圓C經(jīng)過雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在雙曲線上，則圓心到該雙曲線的中心的距離為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線的方程為3x²-y²=λ（λ≠0），代入點(diǎn)$（3，\sqrt{15}）$，得雙曲線的方程，求出頂點(diǎn)，焦點(diǎn)．又圓心在雙曲線上，所以圓C應(yīng)過左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)或右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，即可得到圓心的橫坐標(biāo)，設(shè)圓心的縱坐標(biāo)為m，代入雙曲線的方程，可得m，由兩點(diǎn)的距離公式，由此能得到所求的距離．

解答 解：由題意雙曲線過點(diǎn)$（3，\sqrt{15}）$，漸進(jìn)線方程為$y=±\sqrt{3}x$，
可設(shè)雙曲線的方程為3x²-y²=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)$（3，\sqrt{15}）$，可得λ=3×9-15=12，
易得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
頂點(diǎn)為（±2，0），焦點(diǎn)為（±4，0）．又圓心在雙曲線上，
所以圓C應(yīng)過左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)或右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，即圓心的橫坐標(biāo)為±3，
設(shè)圓心的縱坐標(biāo)為m，則$\frac{9}{4}$-$\frac{{m}^{2}}{12}$=1，
所以m²=15，
所求的距離為$\sqrt{9+15}$=2$\sqrt{6}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．