Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過(guò)點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出曲線C的平面直角坐標(biāo)系方程和直線l的普通方程；
（2）若|PA||PB|-$\sqrt{2}$（|PA|+|PB|）=36，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．過(guò)點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入y²=2ax（a＞0）．可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a）t+8a+32=0，根據(jù)|PA||PB|-$\sqrt{2}$（|PA|+|PB|）=36，可得|t₁•t₂|-$\sqrt{2}$|t₁+t₂|=36，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：
y²=2ax（a＞0）．
過(guò)點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-y-2=0．
（2）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=2ax（a＞0）．
可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a）t+8a+32=0，
∴t₁+t₂=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a，t₁•t₂=8a+32．
∵|PA||PB|-$\sqrt{2}$（|PA|+|PB|）=36，
∴|t₁•t₂|-$\sqrt{2}$|t₁+t₂|=36，
∴8a+32-$\sqrt{2}$（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a）=36，
解得a=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．