Question

14．某興趣小組有9名學(xué)生．若從9名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰好有一個(gè)女生的概率是$\frac{15}{28}$．
（1）該小組中男女學(xué)生各多少人？
（2）9個(gè)學(xué)生站成一列隊(duì)，現(xiàn)要求女生保持相對(duì)順序不變（即女生 前后順序保持不變）重新站隊(duì)，問(wèn)有多少種重新站隊(duì)的方法？（要求用數(shù)字作答）
（3）9名學(xué)生站成一列，要求男生必須兩兩站在一起，有多少種站隊(duì)的方法？（要求用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 （1）設(shè)男生有x人，由$\frac{{C_x^2C_{9-x}^1}}{C_9^3}=\frac{15}{28}$，可解得，x=6，于是可知該小組中男女學(xué)生的人數(shù)；
（2）（方法一）按坐座位的方法：第一步：讓6名男生先從9個(gè)位置中選6個(gè)位置坐，第二步：余下的座位讓3個(gè)女生去坐，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案；
（方法二）除序法：第一步：9名學(xué)生站隊(duì)共有$A_9^9$種站隊(duì)方法；第二步：3名女生有$A_3^3$種站隊(duì)順序，依題意可得答案；
（3）第一步：將6名男生分成3組；第二步：三名女生站好隊(duì)，然后將3組男生插入其中，第三步：3組男生中每組男生站隊(duì)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案．

解答 解：（1）設(shè)男生有x人，則$\frac{{C_x^2C_{9-x}^1}}{C_9^3}=\frac{15}{28}$，即x（x-1）（9-x）=90，解之得，x=6
故男生有6人，女生有3人．…4分
（2）（方法一）按坐座位的方法：
第一步：讓6名男生先從9個(gè)位置中選6個(gè)位置坐，共有$A_9^6$=60480種；
第二步：余下的座位讓3個(gè)女生去坐，因?yàn)橐�保持相�?duì)順序不變，故只有1種選擇；
故，一共有60480×1-1=60479種重新站隊(duì)方法．…8分
（方法二）除序法：
第一步：9名學(xué)生站隊(duì)共有$A_9^9$種站隊(duì)方法；
第二步：3名女生有$A_3^3$種站隊(duì)順序；
故一共有$\frac{A_9^9}{A_3^3}$-1=60480-1=60479種重新站隊(duì)方法．…8分
（3）第一步：將6名男生分成3組，共有$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}=15$種；
第二步：三名女生站好隊(duì)，然后將3組男生插入其中，共有$A_3^3×A_4^3=144$種
第三步：3組男生中每組男生站隊(duì)方法共有${（A_2^2）^3}=8$種
故一共有：15×144×8=17280種站隊(duì)方法．…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，突出考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的理解與運(yùn)用，考查分析、運(yùn)算能力，屬于難題．