Question

9．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，滿足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，則稱△A₁B₁C₁是△ABC的一個(gè)“友好”三角形．在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（請(qǐng)寫出符合要求的條件的序號(hào)）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°； ③A=75°，B=75°，C=30°．

Answer 1

分析 滿足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，則有A₁=$\frac{π}{2}$±A，B₁=$\frac{π}{2}$±B，C₁=$\frac{π}{2}$±C逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．

解答 解：滿足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，則有A₁=$\frac{π}{2}$±A，B₁=$\frac{π}{2}$±B，C₁=$\frac{π}{2}$±C．
對(duì)于①，cosA=cos90°=0，顯然不成立．
對(duì)于②，可取${A}_{1}=1{5}^{0}，{B}_{1}=3{0}^{0}，{C}_{1}=13{5}^{0}$滿足題意．
對(duì)于③，經(jīng)驗(yàn)證不滿足．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了推理的能力，根據(jù)條件逐一驗(yàn)證，是一種很好的做客觀題的方法，屬于中檔題