Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx，曲線y=g（x）與曲線y=f（x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若存在一條過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線y=f（x）和曲線y=g（ax）都相切，則實(shí)數(shù)a的值為$\frac{1}{e^2}$．

Answer 1

分析 求得g（x）=e^x，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線方程為y=kx，與y=lnx的切點(diǎn)為（m，lnm），與y=g（ax）的切點(diǎn)為（n，e^an），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，得到方程組，解方程即可得到所求a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx，曲線y=g（x）與曲線y=f（x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
可得g（x）=e^x，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線方程為y=kx，
與y=lnx的切點(diǎn)為（m，lnm），與y=g（ax）的切點(diǎn)為（n，e^an），
由y=lnx的導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{1}{x}$，y=e^ax的導(dǎo)數(shù)y′=ae^ax，
即有k=$\frac{1}{m}$=ae^an=$\frac{lnm}{m}$=$\frac{{e}^{an}}{n}$，
解得m=e，k=$\frac{1}{e}$，n=e²，an=1，則a=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意設(shè)出切點(diǎn)和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．