Question

6．已知函數(shù)f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)任取兩個不相等的實數(shù)m，n，若不等式mf（m）+nf（n）＜nf（m）+mf（n）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，$\frac{5}{2}$]
• C． [2，$\frac{5}{2}$]
• D． [$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由條件可得（m-n）•[f（m）-f（n）]＜0恒成立，得到f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)是減函數(shù)，故f′（x）=$\frac{a}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)恒成立，即當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$]時，a≤x+$\frac{1}{x}$恒成立．求得函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)的最小值，可得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)任取兩個不相等的實數(shù)m，n，
若不等式mf（m）+nf（n）＜nf（m）+mf（n）恒成立，
即 f（m）（m-n）＜f（n）（m-n） 恒成立，即（m-n）•[f（m）-f（n）]＜0恒成立，
故f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)是減函數(shù)，
故f′（x）=$\frac{a}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)恒成立，即當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$]時，a≤x+$\frac{1}{x}$恒成立．
再根據(jù)函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]內(nèi)取得最小值為$\frac{5}{2}$，∴a≤$\frac{5}{2}$，
故選：B．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．