Question

8．已知函數(shù)f（$\frac{x}{2}$）=-$\frac{1}{8}$x³+$\frac{m}{4}$x²-m（0＜m＜20）．
（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性；
（2）若曲線y=f（x）僅在兩個不同的點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））處的切線都經(jīng)過點（2，lg$\frac{1}{a}$），其中a≥1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）=-x³+mx²-m，求出導數(shù)，討論當$\frac{2m}{3}$≥6即9≤m＜20時，當2＜$\frac{2m}{3}$＜6，即為3＜m＜9時，當$\frac{2m}{3}$≤2，即0＜m≤3時，可得f（x）的單調(diào)性；
（2）求出f（x）的導數(shù)，可得A，B處的切線方程，代入點（2，-lga），可得x₁，x₂為方程-lga-（-x³+mx²-m）=（-3x²+2mx）（2-x）的兩個不等實根，化簡整理可得，2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga=0，令g（x）=2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga，求出導數(shù)和極值點，由題意可得g（x）必有一個極值為0，對m討論，結(jié)合a≥1，解不等式即可得到所求m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（$\frac{x}{2}$）=-$\frac{1}{8}$x³+$\frac{m}{4}$x²-m，
可得f（x）=-x³+mx²-m，
f′（x）=-3x²+2mx=-x（3x-2m），
當$\frac{2m}{3}$≥6即9≤m＜20時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)遞增；
當2＜$\frac{2m}{3}$＜6，即為3＜m＜9時，f（x）在[2，$\frac{2m}{3}$）遞增，在（$\frac{2m}{3}$，6]遞減；
當$\frac{2m}{3}$≤2，即0＜m≤3時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)遞減；
（2）f′（x）=-3x²+2mx，可得A處的切線方程：y-（-x₁³+mx₁²-m）=（-3x₁²+2mx）（x-x₁），
同理可得B處的切線方程：y-（-x₂³+mx₂²-m）=（-3x₂²+2mx）（x-x₂），
代入點（2，-lga），可得x₁，x₂為方程-lga-（-x³+mx²-m）=（-3x²+2mx）（2-x）的兩個不等實根，
化簡整理可得，2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga=0，
令g（x）=2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga，g′（x）=6x²-2（m+6）x+4m=2（3x-m）（x-2），
由0＜m＜20，可得g′（x）=0，可得x=2或x=$\frac{m}{3}$．
g（2）=3m-8+lga，g（$\frac{m}{3}$）=-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+lga，
由題意可得g（x）必有一個極值為0，
（Ⅰ）若$\frac{1}{3}$m＜2，即0＜m＜6，由g（2）=0，g（$\frac{m}{3}$）＞0，
可得lga=8-3m≥0，即m≤$\frac{8}{3}$，
則g（$\frac{m}{3}$）=-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+8-3m=-$\frac{1}{27}$（m-6）³＞0成立，
即有0＜m≤$\frac{8}{3}$；①
由g（2）＜0，g（$\frac{m}{3}$）=0，
可得lga+3m-8＜0，-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+lga=0，
由lga≥0，可得0≤m≤9-3$\sqrt{6}$或m≥9+3$\sqrt{6}$，
由g（2）=$\frac{1}{27}$m³-$\frac{2}{3}$m²+m-8+3m=$\frac{1}{27}$（m-6）³＜0，
解得m＜6，即有0＜m≤9-3$\sqrt{6}$；②
（Ⅱ）若$\frac{1}{3}$m＞2，即6＜m＜20，由g（2）=0，g（$\frac{m}{3}$）＜0，
可得lga=8-3m≥0，即m≤$\frac{8}{3}$，
則m無解；③
由g（2）＞0，g（$\frac{m}{3}$）=0，
可得lga+3m-8＞0，-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+lga=0，
由lga≥0，可得0≤m≤9-3$\sqrt{6}$或m≥9+3$\sqrt{6}$，
由g（2）=$\frac{1}{27}$m³-$\frac{2}{3}$m²+m-8+3m=$\frac{1}{27}$（m-6）³＞0，
解得m＞6，即有9+3$\sqrt{6}$≤m＜20，④
綜上可得，0＜m≤$\frac{8}{3}$或9+3$\sqrt{6}$≤m＜20．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性和切線方程，注意運用分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化思想的運用，考查化簡整理的運算能力，綜合性強，具有一定的難度．