Question

2．已知函數$f（x）=|{x+\frac{1}{x}}$|（x≠0）
（1）求不等式f（x）＜|x-1|的解集；
（2）若對?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），不等式f（x）＞|x-a|-|1+x|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式$?\frac{{{x^2}+1}}{|x|}＜|{x-1}|$⇒x²+1＜|x（x-1）|，即可得出結論；
（2）|x-a|-|1+x|≤|a+1|，此題可轉化為f（x）_min＞|a+1|，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式$?\frac{{{x^2}+1}}{|x|}＜|{x-1}|$⇒x²+1＜|x（x-1）|$⇒\left\{\begin{array}{l}x（{x-1}）≥0\\{x^2}+1＜x（{x-1}）\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x（{x-1}）＜0\\{x^2}+1＜-x（{x-1}）\end{array}\right.$
得{x|x＜-1}
（2）∵|x-a|-|1+x|≤|a+1|，此題可轉化為f（x）_min＞|a+1|
由均值不等式$⇒|x|+\frac{1}{|x|}≥2$，∴2＞|a+1|
得{a|-3＜a＜1}．

點評 本題考查不等式的解法，考查行成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．