12．已知f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，且滿足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，則（　�。�
A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）為減函數(shù)D．f（x）為增函數(shù)

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xexf（x），g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]，可得函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而g（0）=0
即x＞0時，g（x）=xexf（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0時，g（x）=xexf（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xexf（x），g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]，
∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，
故函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而g（0）=0
∴x＞0時，g（x）=xexf（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0時，g（x）=xexf（x）＜0⇒f（x）＞0；
在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．
綜上，f（x）＞0．
故選：A．

點評 題考查了函數(shù)零點的判斷；本題的難點在于構(gòu)造新函數(shù)g（x）=xexf（x），通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．設(shè)函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a-1}{x}，g（x）=ax-3（{a＞0}）$．
（1）求函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a=1時，記h（x）=f（x）•g（x），是否存在整數(shù)λ，使得關(guān)于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，請求出λ的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=e-x+4x-3的零點所在的區(qū)間為（　　）
A．（-$\frac{1}{4}$，0）B．（0，$\frac{1}{4}$）C．（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）D．（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．在區(qū)間[-3，3]上隨機選取一個實數(shù)x，則事件“2x-3＜0”發(fā)生的概率是（　�。�
A．$\frac{4}{5}$B．$\frac{3}{4}$C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{1}{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．設(shè)復數(shù)z滿足$\frac{i}{1-i}$•z=1，則|z|=（　�。�
A．1B．5C．$\sqrt{2}$D．2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知△ABC的頂點A（1，0），點B在x軸上移動，|AB|=|AC|，且BC的中點在y軸上．
（Ⅰ）求C點的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知過P（0，-2）的直線l交軌跡Γ于不同兩點M，N，求證：Q（1，2）與M，N兩點連線QM，QN的斜率之積為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=a（lnx-1）+$\frac{1}{x}$的圖象與x軸相切，g（x）=（b-1）logbx-$\frac{{{x^2}-1}}{2}$．
（Ⅰ）求證：f（x）≤$\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}$；
（Ⅱ）若1＜x＜$\sqrt$，求證：0＜g（x）＜$\frac{{{{（b-1）}^2}}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．已知雙曲線Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一條漸近線為l，圓C：（x-a）2+y2=8與l交于A，B兩點，若△ABC是等腰直角三角形，且$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中O為坐標原點），則雙曲線Γ的離心率為（　　）
A．$\frac{{2\sqrt{13}}}{3}$B．$\frac{{2\sqrt{13}}}{5}$C．$\frac{{\sqrt{13}}}{5}$D．$\frac{{\sqrt{13}}}{3}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)$f（x）=|{x+\frac{1}{x}}$|（x≠0）
（1）求不等式f（x）＜|x-1|的解集；
（2）若對?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），不等式f（x）＞|x-a|-|1+x|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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