Question

17．已知△ABC的頂點A（1，0），點B在x軸上移動，|AB|=|AC|，且BC的中點在y軸上．
（Ⅰ）求C點的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知過P（0，-2）的直線l交軌跡Γ于不同兩點M，N，求證：Q（1，2）與M，N兩點連線QM，QN的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求C點的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx-2，與拋物線方程聯(lián)立，求出斜率，即可證明結論．

解答 解：（Ⅰ）設C（x，y）（y≠0），因為B在x軸上且BC中點在y軸上，所以B（-x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）²=（x-1）²+y²，
化簡得y²=4x，所以C點的軌跡Γ的方程為y²=4x（y≠0）．
（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在且不為0，
設直線l的方程為y=kx-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=kx-2\end{array}\right.$得ky²-4y-8=0，
所以${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，${y_1}{y_2}=-\frac{8}{k}$，${k_{MQ}}=\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-1}}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}-1}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}$，同理${k_{NQ}}=\frac{4}{{{y_2}+2}}$，${k_{MQ}}•{k_{NQ}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}•\frac{4}{{{y_2}+2}}=\frac{16}{{{y_1}{y_2}+2（{y_1}+{y_2}）+4}}=4$，
所以Q（1，2）與M，N兩點連線的斜率之積為定值4．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關系的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．