Question

2．某儀器經(jīng)過檢驗(yàn)合格才能出廠，初檢合格率為$\frac{3}{4}$：若初檢不合格，則需要進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對其進(jìn)行檢驗(yàn)；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為$\frac{4}{5}$．每臺(tái)儀器各項(xiàng)費(fèi)用如表：

項(xiàng)目	生產(chǎn)成本	檢驗(yàn)費(fèi)/次	調(diào)試費(fèi)	出廠價(jià)
金額（元）	1000	100	200	3000

（Ⅰ）求每臺(tái)儀器能出廠的概率；
（Ⅱ）求生產(chǎn)一臺(tái)儀器所獲得的利潤為1600元的概率（注：利潤=出廠價(jià)-生產(chǎn)成本-檢驗(yàn)費(fèi)-調(diào)試費(fèi)）；
（Ⅲ）假設(shè)每臺(tái)儀器是否合格相互獨(dú)立，記X為生產(chǎn)兩臺(tái)儀器所獲得的利潤，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出每臺(tái)儀器不能出廠的概率，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出每臺(tái)儀器能出廠的概率．
（Ⅱ）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出生產(chǎn)一臺(tái)儀器利潤為1600的概率．
（Ⅲ）X可取3800，3500，3200，500，200，-2800．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記每臺(tái)儀器不能出廠為事件A，
則$P（A）=（1-\frac{3}{4}）（1-\frac{4}{5}）=\frac{1}{20}$，
所以每臺(tái)儀器能出廠的概率$P（\overline A）=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$．
（Ⅱ）生產(chǎn)一臺(tái)儀器利潤為1600的概率：
$P=（1-\frac{3}{4}）×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$．
（Ⅲ）X可取3800，3500，3200，500，200，-2800．
$P（X=3800）=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，
$P（X=3500）=C_2^1×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$，
$P（X=3200）={（\frac{1}{5}）^2}=\frac{1}{25}$，
$P（X=500）=C_2^1×\frac{3}{4}×（\frac{1}{4}×\frac{1}{5}）=\frac{3}{40}$，
$P（X=200）=C_2^1×\frac{1}{5}×（\frac{1}{4}×\frac{1}{5}）=\frac{1}{50}$，
$P（X=-2800）={（\frac{1}{4}×\frac{1}{5}）^2}=\frac{1}{400}$．
X的分布列為：

X	3800	3500	3200	500	200	-2800
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{40}$	$\frac{1}{50}$	$\frac{1}{400}$

$E（X）=3800×\frac{9}{16}+3500×\frac{3}{10}+3200×\frac{1}{25}+500×\frac{3}{40}+200×\frac{1}{50}+（-2800）×\frac{1}{400}=3350$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．