Question

13．已知偶函數(shù)f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），當x＜0時有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2017）²f（x+2017）-f（-1）＜0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2016）
• B． （-2018，-2016）
• C． （-2018，+∞）
• D． （-∞，-2018）∪（-2016，+∞）

Answer 1

分析 通過觀察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左邊像一個函數(shù)的導數(shù)，又直接寫不出來，對該不等式兩邊同乘以x，∵x＜0，∴會得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，而這時不等式的左邊是（x²f（x））′，所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x），則能判斷該函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函數(shù)，發(fā)現(xiàn)不等式（x+2017）²f（x+2017）-f（-1）＜0可以變成F（x+2017）＜F（-1）=F（-1），從而|x+2017|＜1，解這個不等式便可．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
則當x＜0時，F(xiàn)'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
∴F（x+2017）=（x+2017）²f（x+2017），F(xiàn)（-1）=f（-1）；
即不等式等價為F（x+2017）-F（-1）＜0；
∵F（x）在（-∞，0）是減函數(shù)；
偶函數(shù)f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，f（-x）=f（x），
∴F（-x）=F（x），F(xiàn)（x）在（0，+∞）遞增，
∴由F（x+2017）＜F（-1）=F（1）得，|x+2017|＜1，
∴-2018＜x＜-2016．
∴原不等式的解集是（-2018，-2016）．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，兩個函數(shù)乘積的導數(shù)的求法，而構(gòu)造函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．