Question

1．已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時，f（x）=e^x，若存在t∈R，對任意x∈[1，m]（m＞1，m∈N），都有f（x+t）≤ex，則m的最大值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤ex，即存在t∈[-2，0]，滿足${e^t}≤\frac{em}{e^m}$，令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞），對g（x）進行求導(dǎo)，求其單調(diào)性，從而求出t的值，只要證明f（x-2）=e^|x-2|≤ex對任意x∈[1，4]恒成立，即可．

解答 解：當(dāng)x＜0時，-x＞0，則f（x）=f（-x）=e^-x
綜上：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≥0\\{e^{-x}}，x＜0\end{array}\right.$；         
因為任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤ex，
故f（1+t）≤e且f（m+t）≤em，
當(dāng)1+t≥0時，e^1+t≤e，從而1+t≤1，
∴-1≤t≤0
當(dāng)1+t＜0時，e^-（1+t）≤e，從而-（1+t）≤1，
∴-2≤t＜-1
綜上-2≤t≤0∵m≥2，故m+t＞0
故f（m+t）≤em得：e^m+t≤em
即存在t∈[-2，0]，滿足${e^t}≤\frac{em}{e^m}$
∴$\frac{em}{e^m}≥{\{{e^t}\}_{min}}={e^{-2}}$，即e^m-e³m≤0
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞），則g′（x）=e^x-e³
當(dāng)x∈（2，3）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（3，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
又g（3）=-2e³＜0，g（2）=-e³＜0，g（4）=e³（e-4）＜0，g（5）=e³（e²-4）＞0
由此可見，方程g（x）=0在區(qū)間[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5），
且當(dāng)x∈[2，m₀]時g（x）≤0，當(dāng)x∈[m₀，+∞）時g（x）≥0
∵m∈Z，故m_max=4，此時t=-2，
故選：C

點評 此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及偶函數(shù)的性質(zhì)，解題的過程中用到了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想，有一定的難度．