Question

3．某小型玩具廠擬對(duì)n件產(chǎn)品在出廠前進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若一件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)能獲利潤(rùn)10元；否則產(chǎn)品報(bào)廢，虧損10元．設(shè)該廠的每件產(chǎn)品能通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為$\frac{2}{3}$，每件產(chǎn)品能否通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)相互獨(dú)立，現(xiàn)記對(duì)n件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)后的總利潤(rùn)為S_n
（Ⅰ）若n=6時(shí)，求恰有4件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率；
（Ⅱ）記X=S₅，求X的分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=6時(shí)，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出恰有4件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率．
（Ⅱ）當(dāng)X=S₅時(shí)，X的可能取值為-50，-30，-10，10，30，50，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）n=6時(shí)，恰有4件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率：
P=${C}_{6}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$．
（Ⅱ）∵X=S₅，∴X的可能取值為-50，-30，-10，10，30，50，
P（X=-50）=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{1}{243}$，
P（X=-30）=${C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{10}{243}$，
P（X=-10）=${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{40}{243}$，
P（X=10）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=30）=${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）$=$\frac{80}{243}$，
P（X=50）=${C}_{5}^{5}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
∴X的分布列為：

X	-50	-30	-10	10	30	50
P	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{32}{243}$

EX=$-50×\frac{1}{243}-30×\frac{10}{243}-10×\frac{40}{243}$+10×$\frac{80}{243}+30×\frac{80}{243}+50×\frac{32}{243}$=$\frac{50}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．