Question

12．設當x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式為函數(shù)f（x）=2sinx-cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinx-$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x+α），（其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$），由題意可得θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，再利用誘導公式求得cosθ 的值．

解答 解：當x=θ時，函數(shù)f（x）=2sinx-cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinx-$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x+α）取得最大值，
（其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$），
∴θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，
∴cosθ=cos（2kπ+$\frac{π}{2}$-α）=cos（$\frac{π}{2}$-α）=sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：D．

點評 本題主要考查輔助角公式的應用，正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎題．