Question

6．己知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x．
（I）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點；
（Ⅱ）若a∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）當a=-1時，求得f（x）的解析式，求導，令f′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，令f′（x）＞0，求得函數(shù)的遞增區(qū)間，令f′（x）=0，求得x=1，由極值的定義，即可求得x=1為函數(shù)的極小值點；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，（x＞0），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論分別求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（I）當a=-1時，f（x）=-lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$，x＞0，
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+x，
令f′（x）=0，即-$\frac{1}{x}$+x=0，解得：x=1，
當f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（0，1），
當f′（x）＞0，解得：x＞1，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞），
綜上可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），
x=1是函數(shù)的極小值點；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，解得x₁=1，x₂=a，
當a≤0時，x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當0＜a＜1時，x∈（0，a）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（a，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當a=1時，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
當a＞1時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（1，a）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
綜上可知：當a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1）；
當a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查導數(shù)的綜合運用，考查分類討論思想，屬于中檔題．