Question

4．曲線C上任一點(diǎn)P與兩點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）連線的斜率乘積為-$\frac{1}{2}$．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)M（1，1）的直線與曲線C交于A，B，且點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）分別求出點(diǎn)P和兩點(diǎn)的斜率，根據(jù)題目條件列式求解，即可求得C的方程．
（2）直線和橢圓聯(lián)立方程，利用中點(diǎn)公式求得斜率，求AB的方程．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）則P與（-2，0）的斜率k₁=$\frac{y-0}{x+2}$=$\frac{y}{x+2}$，
與（2，0）的斜率k₂=$\frac{y-0}{x-2}$=$\frac{y}{x-2}$，且x≠±2，
∴k₁•k₂=$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，且x≠±2，
求曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，且x≠±2；
（2）①∵點(diǎn)M（1，1）在橢圓內(nèi)，
∴當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=1，但是M（1，1）不是AB中點(diǎn)，故不合題意．
②直線斜率存在，設(shè)直線方程為y=k（x-1）+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2（k-1）²-4=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{2（k-1）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
∵M(jìn)點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，
∴2=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，k=-$\frac{1}{2}$，
直線方程為y=-$\frac{1}{2}$x．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬�？碱}型，中檔題．