Question

14．從曲線x²+y²=|x|+|y|所圍成的封閉圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在單位圓中的概率為$\frac{π}{2+π}$．

Answer 1

分析 分別按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0討論，這樣絕對(duì)值就可以去掉了，每種情況得到的曲線都是圓的部分，即可得出結(jié)論．

解答 解：分別按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0討論，
這樣絕對(duì)值就可以去掉了，每種情況得到的曲線都是圓的部分，
當(dāng)x＞0，y＞0，原方程可化為：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圓心在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓在第一象限的部分．
當(dāng)x＞0，y≤0，原方程可化為：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圓心在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓在第四象限的部分．
當(dāng)x≤0，y＞0，原方程可化為：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圓心在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓在第二象限的部分．
當(dāng)x≤0，y≤0，原方程可化為：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圓心在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓在第三象限的部分．
綜上，四個(gè)部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個(gè)封閉的區(qū)域．
這個(gè)區(qū)域的面積可以割成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形，其中正方形的邊長(zhǎng)就是半圓的直徑．
所以總面積S=（$\sqrt{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²π•2=2+π，
故該點(diǎn)在單位圓中的概率p=$\frac{π}{2+π}$，
故答案為：$\frac{π}{2+π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的一般方程，考查面積的計(jì)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．