Question

2．已知f（x）=|e^x-1|，又g（x）=f²（x）-tf（x）（t∈R），若滿足g（x）=-1的x有三個，則t的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意作函數(shù)f（x）=|e^x-1|的圖象，令m=f（x），由圖求出m的范圍，代入方程g（x）=-1化簡，由條件和圖象判斷出方程的根的范圍，由一元二次方程根的分布問題列出不等式，求出t的取值范圍．

解答 解：由題意作函數(shù)f（x）=|e^x-1|的圖象：
令m=f（x），由圖得m≥0，
代入g（x）=f²（x）-tf（x）=-1得，
m²-tm=-1，即m²-tm+1=0，
∵滿足g（x）=-1的x有三個，
∴由圖得，即m²-tm+1=0有兩個根，其中一個在（0，1）中，另外一個在[1，+∞）中，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{0}^{2}-t×0+1＞0}\\{{1}^{2}-t×1+1≤0}\\{△={t}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得t＞2，
即t的取值范圍是（2，+∞），
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題考查方程根的個數(shù)問題的轉(zhuǎn)化，一元二次方程根的分布問題，以及換元法的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想．