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15.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an>0,且Sn=16an(an+3)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an2n1,Bn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求Bn.(若改為cn=an+2n-1呢?)
(3)設(shè)bn=1an1an+2,Tn=b1+b2+…+bn,求證:Tn16

分析 (1)通過Sn=16an(an+3)與Sn-1=16an-1(an-1+3)作差、整理可知an-an-1=3,進(jìn)而可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)、公差均為3的等差數(shù)列,計(jì)算即得結(jié)論;
(2)①若cn=an2n1,利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知Bn=12-6•n+22n;②若cn=an+2n-1,利用分組求和法計(jì)算可知Bn=3nn+12+2n-1;
(3)通過(1)裂項(xiàng)可知bn=1313n1-13n+2),進(jìn)而并項(xiàng)相加、放縮即得結(jié)論.

解答 (1)解:∵Sn=16an(an+3),
∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=16an-1(an-1+3),
兩式相減得:an=16an(an+3)-16an-1(an-1+3),
整理得:(an+an-1)(an-an-1)=3(an+an-1
又∵an>0,
∴an-an-1=3,
∵S1=16a1(a1+3),解得:a1=3或a1=0(舍),
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)、公差均為3的等差數(shù)列,
∴an=3n;
(2)解:①由(1)可知cn=an2n1=3n•12n1
∴Bn=3(1•1211+2•12+3•122+…+n•12n1),
12Bn=3[1•12+2•122+…+(n-1)•12n1+n•12n],
兩式相減得:12Bn=3(1+12+122+…+12n1-n•12n
=3•(112n112-n•12n
=6-3•n+22n,
∴Bn=12-6•n+22n;
②由(1)可知cn=an+2n-1=3n+2n-1,
∴Bn=3•nn+12+12n12=3nn+12+2n-1;
(3)證明:由(1)可知bn=1an1an+2=13n13n+2=1313n1-13n+2),
∴Tn=b1+b2+…+bn
=13131-13+2+13+2-13×2+2+…+13n1-13n+2
=1312-13n+2
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點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和,考查錯(cuò)位相減法,考查裂項(xiàng)相消法,考查分組求和法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)①如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人,那么至少有1人在甲組的概率是多少?
②用樣本估計(jì)總體,把頻率作為概率,若從該地區(qū)所有的中學(xué)(人數(shù)很多)中隨機(jī)選取3人,用ξ表示所選3人中甲組的人數(shù),試寫出ξ的分布列,并求出ξ的數(shù)學(xué)期望.
P(K2>k00.1000.0500.010
K2.7063.8416.635

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