分析 (1)根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可求g(x)解析式;
(2)求g(2x)的表達(dá)式,根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì),求出g(2x)的取值范圍即可得到結(jié)論.
解答 解:(1)設(shè)(x,y)是g(x)上的任意一點(diǎn),(x,y)關(guān)于點(diǎn)M(-12,12)對(duì)稱的點(diǎn)是(x′,y′),
則{x+x′2=−12y+y′2=12,即{x′=−1−xy′=1−y,
∵(x′,y′)在f(x)=-1x上,
∴1-y=-1−1−x=11+x,
即y=1-11+x=x1+x,
即g(x)=x1+x;
(2)∵g(x)=x1+x,
∴g(2x)=2x1+2x=1+2x−11+2x=1-11+2x,
∵2x>0,∴2x+1>1,
則0<11+2x<1,-1<-11+2x<0,
則-1<1-11+2x<1,
即-1<g(2x)<1,
若g(2x)=a有解,
則-1<a<1,
即a的取值范圍是(-1,1).
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解,以及函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.
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