Question

16．為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標x）、推理（能力指標y）、建模（能力指標z）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標w=x+y+z的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若w≥7，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若5≤w≤6，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若3≤w≤4，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機訪問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：

學(xué)生編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（2，2，3）	（3，2，3）	（3，3，3）	（1，2，2）	（2，3，2）	（2，3，3）	（2，2，2）	（2，3，3）	（2，1，1）	（2，2，2）

（1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標相同的概率；
（2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標為a，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標為b，記隨機變量X=a-b，求隨機變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題可知：建模能力一級的學(xué)生是A₉；建模能力二級的學(xué)生是A₂，A₄，A₅，A₇，A₁₀；建模能力三級的學(xué)生是A₁，A₃，A₆，A₈．記“所取的兩人的建模能力指標相同”為事件A，利用互斥事件與古典概率計算公式即可得出，P（A）．
（2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級：A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級的：A₄，A₇，A₉，A₁₀；X的可能取值為1，2，3，4，5．利用相互獨立事件、互斥事件與古典概率計算公式即可得出P（X=k）及其分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題可知：建模能力一級的學(xué)生是A₉；建模能力二級的學(xué)生是A₂，A₄，A₅，A₇，A₁₀；建模能力三級的學(xué)生是A₁，A₃，A₆，A₈．
記“所取的兩人的建模能力指標相同”為事件A，
則$P（A）=\frac{C_5^2+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{16}{45}$．
（2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級：A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級的：A₄，A₇，A₉，A₁₀；X的可能取值為1，2，3，4，5.$P（X=1）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{1}{4}$；$P（X=2）=\frac{C_3^1C_1^1+C_2^1C_2^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{7}{24}$；$P（X=3）=\frac{C_3^1C_1^1+C_2^1C_1^1+C_1^1C_2^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{7}{24}$；$P（X=4）=\frac{C_2^1C_1^1+C_1^1C_1^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{1}{8}$；$P（X=5）=\frac{C_1^1C_1^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{1}{24}$．
∴隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

∴$EX=1×\frac{1}{4}+2×\frac{7}{24}+3×\frac{7}{24}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{24}$=$\frac{29}{12}$．

點評 本題考查了相互獨立事件、互斥事件、古典概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．